思った以上にハードだけど、がんばる。
http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409&hl=it
ディクテーションとトポロジーを同時にやる感じ。では６分半あたりから。
今回のルールに沿ってカーブを変形しても、turning numberは変わらない。
smileとfrownはできたり消えたりするけど、差は変わらない。
turning numberは基本的な特性（fundamental property）。
２つの円のturning numberは？左が１で右が-1。
円を裏返せない理由は、turning numberが違うから。
球面でも同じ議論ができる？
三次元的なsmileとfrownでturning numberが違うよ。
そうじゃない。そのアナロジーはいいんだけど。
何回もきいたけど、7:46辺りが聞き取れなかった。
horizontal and dorms on topなすべての点を考えて一般的な表面を見ないといけない。
「水平で上が山型」？いまいち自信なし。
これらの点をより簡単に位置させる(locate)ために、水平な縞模様を描く。
smileは谷型（bowl）でfrownは山型（dorm）。
でも別の点もある。水平でsmileでもfrownでもない。
これは鞍部（saddles）で、ある面から見ればsmileだし、別の面からみるとfrown。
山や谷の近くで安定部は輪を形成している。鞍部の近くで山や谷はXを形成している。
それで何が変わるのか。球面には鞍部がないよ。
特徴的な点は相互作用するから問題なし。山と鞍部は相殺される。
同様に谷と鞍部も相殺される。山と谷は、同じ符号の電荷みたいなもので、通常近くに来ない。
変化しない数というのは、dorm + bowl - saddle。どっちの面が外でも良い。
turning numberは裏返しを妨げない。円ではできなかったけど。
相殺するという概念はいろいろと応用できそうだな。
で、9:15辺りから、もーむりって感じ。人名が特に。
Steve (Stephen) Smale スティーヴ・スメールが、1957年にこれは可能だという理論を証明した。
これは、Arnold Shapiro アーノルド・シャピロが実際にやる方法を見つける７年前。
問題をビジュアル化するのは大変なので、Bernard Morin ベルナール・モラン（フランス人）らにより更なる方法が発明された。
1974年に発明されたBill (William) Thurston ビル・サーストンの方法をお見せしよう。
トポロジーの本を見ながらやった方がいいのかな？聞き取れないと検索もできない。
カーブに戻ろう。このカーブはturning number1のものにしかなれない。
でもturning number1であれば、どんなカーブにでもなれる。
このあと鮮やかにほどけていくのが、なかなか面白い。
必要なのは、一般的な方法。折れ曲がってもいい場合の、シンプルな変形って覚えてる？
turning numberが一緒なら、この方法が折れ曲がりなしでできる。単純な例。
カーブの断片（pieces）にしるしをつける。これが変形へのガイドとなる。
再区分に注目する（we concentrate re-segment now.）。
回転させずに、中央のガイドを円の最終的な目的地へ移動させる。
次にガイドを円に合うように再度回転させる。
これで11:40辺りまで。なかなか手強いな。
英語も数学もいまいちわかってないんで、ツッコミを期待しております。
